2019/05/18 追記
2つのスクリーンネームを入力するだけで、Twitter上での二者間でのリプライ・メンション・引用RTでのやり取りを検索するためのURLを生成するツールを公開しました。
多分これ使ったほうが手っ取り早いです。
前提
以下で例として挙げる buffbuffrat と otapps というスクリーンネームは、2016/02/28時点で私が利用しているスクリーンネームです。
が、スクリーンネームは変更可能である事・開放されたスクリーンネームは第三者が利用可能である事から、あくまで2016/02/28時点でとしておきます。
特定の二者間の対話を検索する方法
TwitterサーチAPIでも同様の事が可能ですが、APIでは検索可能な期間の制限があるので、公式の検索機能を利用するものとします。
Twitterで特定の二者間の対話に限定して検索する方法の紹介です。
Twitter検索のfromオプションとtoオプション（または@オプション）を利用します。
from オプション to オプションについては、Twitterで特定のユーザの発言に限定してキーワード検索する方法と期間指定して検索する方法。 - お手上げドットコム をご覧下さい。
さて、「目的は特定の二者間のやり取りの取得」なので単純に…。
from:スクリーンネーム1 to:スクリーンネーム2 OR from:スクリーンネーム2 to:スクリーンネーム1
と、すると、優先順位の関係で、目的とする「特定の二者間の対話の取得は不可能」です。
そこで、現時点でHow to use advanced searchには記載されていませんが、丸括弧で括って優先度を指定します。
リプライのやり取りの検索
(from:スクリーンネーム1 to:スクリーンネーム2) OR (from:スクリーンネーム2 to:スクリーンネーム1)
こんな感じ。
ちなみに2016/02/28時点での上記の検索結果は…。
です。
検索でより多くのツイートを拾うために「トップ」ではなく「ライブ」を選択する事をオススメします。
リプライだけでなくメンションも含む検索
リプライだけでなく、メンションも含みたい場合は…。
(from:スクリーンネーム1 @スクリーンネーム2) OR (from:スクリーンネーム2 @スクリーンネーム1)
といった形で検索可能です。
How to use advanced search にある検索オプションと合わせて、上記のように丸括弧で括って優先順位をつける事で、検索の幅が広がり、目的とするツイートを探しやすくなるかもしれない一例という事で。